我发现一类新的方程叫包容方程

摘 要 通过讨论子方程和母方程的解集，分析它们的相互关系，发现了一种另类方程叫包容方程，母方程子方程互为包容方程。指出包容方程将引出的悖理：包容方程是同解方程吗？是参数方程吗？用同样的字母例如x，y可以同时表示母子方程中的未知数吗？可能要引出哲学上的讨论。对量子纠缠找出数学上的依据。

关键词 母数方程 母方程 子方程 母子方程的解 耦合变换 包容方程

中图分类号：G420文献标识码：A

0引言

数论中的一个中心问题是研究素数和复合数在自然数中的分布规律。我的母数论探索一种新的方法去解决这些问题的。用母数论的方法，我发现了一些新的数学问题…下面，首先给大家介绍一类新的方程叫包容方程。

我们面前有两个方程：x+y+2xy=7…①和x+y+2xy=112…②显然，按现有的认识，这是两个未知量表达式完全一样的二元二次不定式方程。也就是古老的丢番图方程。

在初等数论中，对于二元二次不定式方程，已有一定的解法。而本篇短文注重的只是上述①②类型的不定式方程的解集。本文只在正整数范围内讨论它们的解集，以及两个方程解集之间、方程的表达式之间存在的内在关系。

我们已经知道，对于一个二元二次不定式方程式，一般来说解集的结论是：无解，一组解，有限组解…而对于两个方程来说，以往我们主要是比较它们的解集，抑或说是不是同解方程？是不是参数方程？等两个方程之间的关系问题。

我们首先比较方程①和②。明显地看到，它们表达未知数的解析式形式上有两个一样：第一，未知量选用了同样的字母x，y来表达;第二，表达未知量的关系也是完全相同的x+y+2xy;两个方程只有一项不同，仅是常数项不同。共同表达的是同样一个二次对称函数。

而且，对于上述每一个方程如果有解，一定是对称的两组解（x，y）和（y，x）。为了行文简洁，把因对称性而产生的两组解，统一书写为一组解。例如方程①有x=1，y=2的解;必有y=1，x=2的对称解。我们只说方程①有x=1，y=2的正整数解;或表述作方程有解（1，2）。

依据以往的知识，我们对方程①②很轻易地会得出，它们是各自独立、毫无关系的两个方程;它们各自有解，解也不会相同的结论。如同x+y=5和x+y=10一样，各自独立，解不相同。如果把①②两个方程联系起来，当方程组来解。就会犯7=112的初级谬误，更说明它们是各自独立、毫无关系的两个方程。

我们很快会看到这个结论是错误的！

1母方程子方程的定义

定义1 我们把型如x+y+2xy=c（c∈N）的二元二次不定式方程叫做母数方程，简称母方程。并用针对性强的小写字母a+b+2ab=c来表达母方程（a，b是未知数，c是常数;c∈N）。

定义2 在母数方程a+b+2ab=c中，如果常数项等于c与其继數乘积2倍即2c（c+1）。这样的母数方程，叫原母方程的子方程。为区别于原母方程，我们选用对应强的大写字母A+B+2AB=2c（c+1），来表达子方程（A，B是未知数，c是常数;c∈N）。那么，该方程就叫做母方程的子方程。

这样，我们就给看似“各自独立、毫无关系”的方程①和②建立起‘纠缠不清的‘亲属关系。把方程①和②改写成母子方程的形式，其精髓是结构重组：{母方程a+b+2ab=7 （a，b是未知数）…①′;子方程A+B+2AB=112（A，B是未知数）…②′。我们就能把重组起来的两个方程，联系起来解。它们似方程组却不是方程组，是形式上经过耦合变换，它们升华为解有纠缠关系的母子方程。这种外在形式一样，解又和而不同的方程就叫包容方程。

2讨论母方程和子方程的解

前面说过，这是两个二元二次不定式方程或说丢番图方程，我们只在正整数范围内讨论它们的解集。我们知道目前初等数论中，解母方程a+b+2ab=c这种二次不定式方程还比较麻烦。而子方程A+B+2AB=2c（c+1）的规定性比母方程的要丰富的多。所以，解子方程要容易的多①。由于篇幅和讨论主题的限制，这里重点讨论它们解之间的关系。

先看母方程a+b+2ab=7…①′显然，有a=1，b=2即（1，2）的正整数解;

再看子方程A+B+2AB=112…②′∵112=2？？，∴由定义2知，②′是子方程。它比方程①′规定性多。它的解分两种情况：第一种情况，当A=B时，解之，有A=B=7一组解;第二种情况，A≠B时，分别有A=4，B=12;A=1，B=37;A=2，B=22三组解。

讨论：（1）在第一种情况中：即A=B时，方程②′是有A=B=7一组解。在已知中已给出了母方程a+b+2ab=7…①′。也就是说，在A=B时，方程②′的解是一个常数7，同时也是一个代数解析式a+b+2ab，这时A或B=a+b+2ab是函数。它们且相等，组成的方程是已知的母方程！再换句话说，子方程②′在A=B时，会丝毫不差地向母方程返回或说‘返祖！这就是耦合变换。

（2）在第二种情况中：A≠B时，子方程②′有A=1，B=37;A=2，B=22二组解。由于解的对称性，当然B的解也可以等于1，也可以等于2。前面已解出母方程的解是a=1，b=2。可以看到母方程和子方程的解既是相通的，又是互相纠缠的。也这就是说，子方程②′的上述不同的两组解，有选择性地交叉反射到母方程①′的解中。即;A=1反射到a=1;B=2反射到b=2。这既是真理。∵A=1，a=1;B=2，b=2是解方程解出来的事实！也是悖理？∵大A不是小a;大B不是小b，这也是事实！它们的解和而不同地纠缠包容在母子方程之中。之所以这样说，是因为母方程①′的两个解a=1，b=2是通过解子方程②′得到的两组解中分别取出的。这是母数纠缠性的具体反映。

如果接受这样的方程，接受这样的解，我们就可以避开解方程①′，直接解子方程②′一样会得到母方程①′和它的正整数解（1，2）。

如上，我们说是解方程组①′②′。实际上只解了一个子方程②′就得出了两个方程和两个方程的解。那么，这究竟是解一个方程呢，还是解两个方程呢？它们是同解方程呢，还是参数方程呢？什么也不是！它们是耦合变换形成的包容方程：母方程包容在子方程里，子方程又属于母方程。

（3）同样是第二种情况，A≠B时，方程②′还有一组特殊解：是A=4，B=12。之所以说是特殊解，是因为4=2？？，12=2？？，作为（A，B）方程②′的一组两个解A，B，每一个都可以表达为2n（n+1）的形式。它是函数f（a，b）=a+b+2ab，在a=b时特殊值。所以，令A=2a（a+1），B=2b（b+1），自然推得2a（a+1）=4，2b（b+1）=12。解之，a=1，b=2。這种情况下，只能说子方程②′所具有的特解是能包容母方程特殊情况下（a=b）的函数即A=2a（a+1）和B=2b（b+1）。是子方程②′自身具有耦合性的反映，也是母数解纠缠性包容性的证据之一。

由定义2知，子方程的常数项有2c（c+1）的属性。现在，子方程的未知数A，B也”继承”抑说包容了这种属性。这是继承还是遗传？它拟似参数代换，却不是参数代换！是耦合变换推出了包容方程。由此，解子方程就会得到母方程（a，b）即（1，2）的正整数解。意义在于只要解子方程不论母方程在何方，即使在火星上，也会得到它的解。因为，包容方程的解是互相纠缠的。

并不是所有的母数方程都有解，它解集是符合二元二次不定方程解的一般规律的。就是无解，一组解，有限组解三种情况。一组解，有限组解的例子，我们在上面已经看到了。至于无解的例子更多。例如母方程a+b+2ab=6（或等于5，8，9，11…）都是无正整数解的。但它的子方程是有唯一解的！就是A=B时，子方程有唯一解6（或5，8，9，11…）。这时，子方程向母方程返回！等同于我们什么也没做。当A≠B时，∵（A，B）也没有正整数解，∴母方程a+b+2ab=6（或5，8，9，11…），亦无正整数解。

3母方程和子方程的包容性

从上面的分析，我们已经看到了母方程和子方程的包容性，主要表现在如下两个方面：

（1）子方程不仅包容了母方程的形式，而且和而不同地包容了母方程的全部解;

（2）母方程同样也包容了子方程的形式，母方程通过母数纠缠在子方程中找到了自己的解。

定义3：如果两个方程未知数的表达形式完全一样，常数项之间耦合{即常数项之间有未知数表达的函数关系}（例如上述的母子方程）。那么，它们的形式耦合，解一定会和而不同地纠缠在在一起（至少有一组解是相同的）。这样的方程叫包容方程。

前面已经介绍过的母子方程就是包容方程。这两个方程的关系似同解方程却不是同解方程，更不是方程组;似参数方程也不是参数方程，是一种新的方程叫包容方程。

自然数无穷，母子方程无穷！自然包容方程无穷！

写到这里，又出现一个问题。包容方程显著的特征之一，就是能够返回再现原方程！高等数学中，有一种函数y=ex，它的导函数能还原自身。这是通过一种求导数运算即（ex）′=ex复制返回还原了自身！而我们是通过耦合变换，推出包容方程，解包容方程的过程中还原了自身！请问，在数学史上出现过这种你中有我，我中有你，相互包容，形式一样，解和而不同，相互纠缠的两个方程吗？

4结束语

最后重申一下，包容方程的出现，一定会引出悖理：

（1）从上面的例子看出：母方程①′的全部解一定是子方程②′的解，子方程②′的解，不全部是母方程①′的解，却包含容纳了母方程①′的全部解。这样的包容方程是同解方程吗？

（2）在解子方程②′中，可以得到A=2a（a+1）和B=2b（b+1）的解，这两个解是函数;同时也可得到A=4和B=12的常数解。由等于第三个量的两量相等的公理，推得2a（a+1）=4和2b（b+1）=12;同理A=B，A=7，B=7，得到a+b+2ab=7。我们知道常微方程的解可以是一簇函数，我们这里的解同时等于函数和常数。请问，方程的解可以是方程吗？再问，这样的包容方程是参数方程吗？

（3）理论上说，用什么样的字母表示未知数是自由的、任意的，字母不过起着符号的作用。在科学实践中，科学家们约定了一些特定的字母表示特殊的数。如e表示超越数2.718…，%i表示圆周率等等，已成为普世公识。可以说，用什么样的字母表示方程中的未知数也应是自由的任意的。据说是爱因斯坦建议用x，y表示未知数，已在解方程中得到普遍应用。我们在解母子方程中遇到了一点麻烦。如果我们违反常规，没有把x+y+2xy=7…①和x+y+2xy=112…②看作是各自有解的两个独立方程，而看作是有联系的母子方程去求解。那么，同时等于x+y+2xy的两个量相等！产生了7=112的谬误！如果一定要把x+y+2xy=112…②当作子方程解下去，会引出更大的荒唐和混乱…例如，当x=y时，子方程有解x=y=7。而母方程x+y+2xy=7…引出一系列的矛盾和谬误…都是由于同时使用了同样的字母x，y表示了两个有包容关系的方程，掩盖了母子方程形式上常数项及解的耦合性及解的纠缠性。很自然会有这样的问题。请问，用同样的字母能够表达清楚包容方程中母子方程的未知数吗？

注释

① 用母数论的方法，我已经找到了解子方程②′的特殊方法，通过解子方程会同时解出母方程和它的全部解。给古老的丢番图方程一种新的解法，本文篇幅有限，另文〈母子方程的解法〉相赠。

参考文献

[1] 张伟华，崔英华.介绍一种求勾股数的方法——用一个量表达勾股数[J].中国·包头-职大学报，2005（02）：59-60.

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